Niektóre podzbiory liczb rzeczywistych
Z twierdzenia Gödla o niezupełności wynika, że dowolna \\\\\\\\\\\\\\"porządnie opisywalna\\\\\\\\\\\\\\" aksjomatyka liczb naturalnych w języku pierwszego jest niezupełna. Zatem dla każdego jej modelu (konstrukcji) istnieją takie zdania, które chociaż prawdziwe w obrębie danej konstrukcji, negacja logiczna dają się wywnioskować z aksjomatów. Arytmetyki Peany PA negacja logiczna da się ubogacić skończoną liczbą aksjomatów w taki sposób, aby prawdziwość każdego jej twierdzenia dawała się rozstrzygnąć. Matematycy znają takie twierdzenia teorii liczb (np. twierdzenie Goodsteina), których negacja logiczna wolno udowodnić ani znieść na gruncie PA (choć wynikają one z aksjomatów Peany).praca
Na gruncie naiwnej (nie-aksjomatycznej) teorii mnogości stwierdza się, że liczba kardynalna to rodzaj równoważności relacji równoliczności zbiorów. Wówczas amplituda zbioru to liczba kardynalna która jest klasą równoważności tego zbioru. Formalizacja tego podejścia na gruncie ZF jest niedużo złożona, dlatego że w istocie zdefiniowane liczby kardynalne negacja logiczna byłyby zbiorami, a klasami właściwymi. Nawet używając formalizacji teorii mnogości dozwalającej na przeznaczenie klas, negacja logiczna moglibyśmy zdefiniować klasy wszystkich liczb kardynalnych, należy tedy hamować się aż do \\\\\\\\\\\\\\"fragmentów początkowych\\\\\\\\\\\\\\" klas równoważności a podbić rząd technicznych komplikacji.
Z tego powodu, na gruncie aksjomatycznej teorii mnogości definiuje się liczby kardynalne w mało inny sposób: liczba kardynalna to tzw początkowa liczba porządkowa, lub taka liczba porządkowa, która negacja logiczna jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od chwili niej mniejszą (równoważnie: liczba porządkowa która negacja logiczna jest równoliczna z żadnym swoim elementem). Przy założeniu AC, jakikolwiek zespół jest równoliczny z pewną (tak zdefiniowaną) liczbą kardynalną nazywaną mocą tego zbioru.praca
Uogólnieniem pojęcia liczności zbioru skończonego na wszelkie zbiory, również nieskończone, jest tzw. amplituda zbioru. Dwa zbiory A a B są równoliczne (mają tę samą moc), chyba że elementy zbioru A wolno spiąć w pary z elementami zbioru B, w istocie aby jakikolwiek podstawy zbioru A a jakikolwiek podstawy zbioru B były wykorzystane raz a wyłącznie raz.praca
Aksjomat indukcji jest w największym stopniu problematycznym z aksjomatów Peano. Sprawia gorsza połowa, że aksjomatyka liczb naturalnych negacja logiczna jest wyrażona w języku pierwszego plus minus, jednakże zbytnio to (jak wykazał Richard Dedekind) jest kobieta kategoryczna, lub każde dubel modele spełniające te aksjomaty są izomorficzne.praca