Liczby zespolone
Aksjomat indukcji jest w najwyższym stopniu problematycznym z aksjomatów Peano. Sprawia pan, że aksjomatyka liczb naturalnych nie jest wyrażona do wnętrza języku pierwszego mniej więcej, przecież za to (jak wykazał Richard Dedekind) jest płeć piękna kategoryczna, oznacza to każde dubel modele spełniające te aksjomaty są izomorficzne.praca
Na gruncie naiwnej (nie-aksjomatycznej) teorii mnogości stwierdza się, że ilość kardynalna to kategoria równoważności relacji równoliczności zbiorów. Wówczas potęga zbioru to ilość kardynalna która jest klasą równoważności tego zbioru. Formalizacja tego podejścia na gruncie ZF jest coś złożona, albowiem w istocie zdefiniowane liczby kardynalne nie byłyby zbiorami, tudzież klasami właściwymi. Nawet używając formalizacji teorii mnogości dozwalającej na rola klas, nie moglibyśmy zdefiniować klasy wszystkich liczb kardynalnych, należy wskutek tego kończyć się na się aż do \\\\\\\\\\\\\\"fragmentów początkowych\\\\\\\\\\\\\\" klas równoważności oraz przejść etap technicznych komplikacji.
Z tego powodu, na gruncie aksjomatycznej teorii mnogości definiuje się liczby kardynalne do wnętrza ociupinę różny sposób: ilość kardynalna to tzw początkowa ilość porządkowa, oznacza to taka ilość porządkowa, która nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą (równoważnie: ilość porządkowa która nie jest równoliczna z żadnym swoim elementem). Przy założeniu AC, iks streszczenie jest równoliczny z pewną (tak zdefiniowaną) liczbą kardynalną nazywaną mocą tego zbioru.praca
Z twierdzenia Gödla o niezupełności wynika, że dowolna \\\\\\\\\\\\\\"porządnie opisywalna\\\\\\\\\\\\\\" aksjomatyka liczb naturalnych do wnętrza języku pierwszego jest niezupełna. Zatem na rzecz każdego jej modelu (konstrukcji) istnieją takie zdania, które wprawdzie prawdziwe do wnętrza obrębie danej konstrukcji, nie dają się wyprowadzić z aksjomatów. Arytmetyki Peany PA nie da się okrasić skończoną liczbą aksjomatów naprawdę, iżby zgodność z rzeczywistością każdego jej twierdzenia dawała się rozstrzygnąć. Matematycy znają takie twierdzenia teorii liczb (np. stwierdzenie Goodsteina), których nie można udowodnić ani rozłożyć na łopatki na gruncie PA (choć wynikają one z aksjomatów Peany).praca
Uogólnieniem pojęcia liczności zbioru skończonego na wszelkie zbiory, podobnie nieskończone, jest tzw. potęga zbioru. Dwa zbiory A oraz B są równoliczne (mają tę samą moc), jeżeli elementy zbioru A można skontaminować do wnętrza pary z elementami zbioru B, w istocie iżby iks czynnik zbioru A oraz iks czynnik zbioru B dawny wykorzystane trafienie oraz wprost przeciwnie raz.praca