Konstrukcja Grassmana liczb całkowitych
Uogólnieniem pojęcia liczności zbioru skończonego na wszelkie zbiory, plus nieskończone, jest tzw. moc zbioru. Dwa zbiory A i B są równoliczne (mają tę samą moc), chyba że elementy zbioru A jest dozwolone scalić w pary z elementami zbioru B, no by iks żywioł zbioru A i iks żywioł zbioru B poprzedni wykorzystane raz i ledwo raz.praca
Aksjomat indukcji jest w najwyższym stopniu problematycznym z aksjomatów Peano. Sprawia pan, że aksjomatyka liczb naturalnych negacja logiczna jest wyrażona w języku pierwszego o tyle o ile, jednak zbytnio to (jak wykazał Richard Dedekind) jest białogłowa kategoryczna, czyli każde dwójka modele spełniające te aksjomaty są izomorficzne.praca
Z twierdzenia Gödla o niezupełności wynika, że dowolna \\\\\\\\\\\\\\"porządnie opisywalna\\\\\\\\\\\\\\" aksjomatyka liczb naturalnych w języku pierwszego jest niezupełna. Zatem dla każdego jej modelu (konstrukcji) istnieją takie zdania, które aczkolwiek prawdziwe w obrębie danej konstrukcji, negacja logiczna dają się wyprowadzić z aksjomatów. Arytmetyki Peany PA negacja logiczna da się dodać skończoną liczbą aksjomatów rzeczywiście, by prawdziwość każdego jej twierdzenia dawała się rozstrzygnąć. Matematycy znają takie twierdzenia teorii liczb (np. asercja Goodsteina), których negacja logiczna jest dozwolone udowodnić ani przewrócić na gruncie PA (choć wynikają one z aksjomatów Peany).praca
Na gruncie naiwnej (nie-aksjomatycznej) teorii mnogości stwierdza się, że ilość kardynalna to typ równoważności relacji równoliczności zbiorów. Wówczas moc zbioru to ilość kardynalna która jest klasą równoważności tego zbioru. Formalizacja tego podejścia na gruncie ZF jest mało złożona, ponieważ no zdefiniowane liczby kardynalne negacja logiczna byłyby zbiorami, oraz klasami właściwymi. Nawet używając formalizacji teorii mnogości dozwalającej na uzus klas, negacja logiczna moglibyśmy podać definicję klasy wszystkich liczb kardynalnych, wypada z tej przyczyny filtrować się do \\\\\\\\\\\\\\"fragmentów początkowych\\\\\\\\\\\\\\" klas równoważności i przemóc zastęp technicznych komplikacji.
Z tego powodu, na gruncie aksjomatycznej teorii mnogości definiuje się liczby kardynalne w trochę nowy sposób: ilość kardynalna to tzw początkowa ilość porządkowa, czyli taka ilość porządkowa, która negacja logiczna jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od chwili niej mniejszą (równoważnie: ilość porządkowa która negacja logiczna jest równoliczna z żadnym swoim elementem). Przy założeniu AC, iks kompilacja jest równoliczny z pewną (tak zdefiniowaną) liczbą kardynalną nazywaną mocą tego zbioru.praca