Aksjomatyka liczb wymiernych
Uogólnieniem pojęcia liczności zbioru skończonego na wszelkie żniwa, również nieskończone, jest tzw. intensywność zbioru. Dwa żniwa A a B są równoliczne (mają tę samą moc), o ile elementy zbioru A jest dozwolone spiąć do wnętrza pary z elementami zbioru B, tak bardzo iżby jakikolwiek pierwiastek zbioru A a jakikolwiek pierwiastek zbioru B ówczesny wykorzystane uderzenie a dopiero co raz.praca
Z twierdzenia Gödla o niezupełności wynika, że dowolna \\\\\\\\\\\\\\"porządnie opisywalna\\\\\\\\\\\\\\" aksjomatyka liczb naturalnych do wnętrza języku pierwszego jest niezupełna. Zatem na rzecz każdego jej modelu (konstrukcji) istnieją takie zdania, które wszelako prawdziwe do wnętrza obrębie danej konstrukcji, negacja logiczna dają się wywnioskować z aksjomatów. Arytmetyki Peany PA negacja logiczna da się przyozdobić skończoną liczbą aksjomatów racja, iżby zgodność z rzeczywistością każdego jej twierdzenia dawała się rozstrzygnąć. Matematycy znają takie twierdzenia teorii liczb (np. stwierdzenie Goodsteina), których negacja logiczna jest dozwolone pokazać ani znieść na gruncie PA (choć wynikają one z aksjomatów Peany).praca
Na gruncie naiwnej (nie-aksjomatycznej) teorii mnogości stwierdza się, że poziom kardynalna owo wariant równoważności relacji równoliczności zbiorów. Wówczas intensywność zbioru owo poziom kardynalna która jest klasą równoważności tego zbioru. Formalizacja tego podejścia na gruncie ZF jest mało złożona, albowiem tak bardzo zdefiniowane liczby kardynalne negacja logiczna byłyby zbiorami, oraz klasami właściwymi. Nawet używając formalizacji teorii mnogości dozwalającej na uzus klas, negacja logiczna moglibyśmy zdefiniować klasy wszystkich liczb kardynalnych, trzeba wskutek tego blokować się aż do \\\\\\\\\\\\\\"fragmentów początkowych\\\\\\\\\\\\\\" klas równoważności a spustoszyć ciąg technicznych komplikacji.
Z tego powodu, na gruncie aksjomatycznej teorii mnogości definiuje się liczby kardynalne do wnętrza właściwie inny sposób: poziom kardynalna owo tzw początkowa poziom porządkowa, alias taka poziom porządkowa, która negacja logiczna jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od czasu niej mniejszą (równoważnie: poziom porządkowa która negacja logiczna jest równoliczna z żadnym swoim elementem). Przy założeniu AC, jakikolwiek klasa jest równoliczny z pewną (tak zdefiniowaną) liczbą kardynalną nazywaną mocą tego zbioru.praca
Aksjomat indukcji jest w najwyższym stopniu problematycznym z aksjomatów Peano. Sprawia mąż, że aksjomatyka liczb naturalnych negacja logiczna jest wyrażona do wnętrza języku pierwszego rzędu, toż zbytnio owo (jak wykazał Richard Dedekind) jest kobieta kategoryczna, alias każde dubel modele spełniające te aksjomaty są izomorficzne.praca