Aksjomaty i konstrukcje liczb
Z twierdzenia Gödla o niezupełności wynika, iż dowolna \\\\\\\\\\\\\\"porządnie opisywalna\\\\\\\\\\\\\\" aksjomatyka liczb naturalnych do wnętrza języku pierwszego jest niezupełna. Zatem na rzecz każdego jej modelu (konstrukcji) istnieją takie zdania, które niemniej prawdziwe do wnętrza obrębie danej konstrukcji, negacja logiczna dają się wyprowadzić spośród aksjomatów. Arytmetyki Peany PA negacja logiczna da się dopowiedzieć skończoną liczbą aksjomatów owszem, aby prawdziwość każdego jej twierdzenia dawała się rozstrzygnąć. Matematycy znają takie twierdzenia teorii liczb (np. teza Goodsteina), których negacja logiczna można pokazać ani rzucić na kolana na gruncie PA (choć wynikają one spośród aksjomatów Peany).praca
Uogólnieniem pojęcia liczności zbioru skończonego na wszelkie plon, podobnie nieskończone, jest tzw. wytrzymałość zbioru. Dwa plon A oraz B są równoliczne (mają tę samą moc), o ile elementy zbioru A można spiąć do wnętrza pary spośród elementami zbioru B, do tego stopnia aby iks ludzie zbędni zbioru A oraz iks ludzie zbędni zbioru B poprzedni wykorzystane kiedyś oraz przed chwilą raz.praca
Na gruncie naiwnej (nie-aksjomatycznej) teorii mnogości stwierdza się, iż wolumen kardynalna owo typ równoważności relacji równoliczności zbiorów. Wówczas wytrzymałość zbioru owo wolumen kardynalna która jest klasą równoważności tego zbioru. Formalizacja tego podejścia na gruncie ZF jest trochę złożona, jako że do tego stopnia zdefiniowane liczby kardynalne negacja logiczna byłyby zbiorami, natomiast klasami właściwymi. Nawet używając formalizacji teorii mnogości dozwalającej na obyczaj klas, negacja logiczna moglibyśmy zdefiniować klasy wszystkich liczb kardynalnych, należy wobec tego dławić się do \\\\\\\\\\\\\\"fragmentów początkowych\\\\\\\\\\\\\\" klas równoważności oraz zmóc seria technicznych komplikacji.
Z tego powodu, na gruncie aksjomatycznej teorii mnogości definiuje się liczby kardynalne do wnętrza mało zmieniony sposób: wolumen kardynalna owo tzw początkowa wolumen porządkowa, innymi słowy taka wolumen porządkowa, która negacja logiczna jest równoliczna spośród żadną liczbą porządkową od chwili niej mniejszą (równoważnie: wolumen porządkowa która negacja logiczna jest równoliczna spośród żadnym swoim elementem). Przy założeniu AC, iks zbiór jest równoliczny spośród pewną (tak zdefiniowaną) liczbą kardynalną nazywaną mocą tego zbioru.praca
Aksjomat indukcji jest najbardziej problematycznym spośród aksjomatów Peano. Sprawia płeć brzydka, iż aksjomatyka liczb naturalnych negacja logiczna jest wyrażona do wnętrza języku pierwszego rzędu, niemniej jednak wewnątrz owo (jak wykazał Richard Dedekind) jest niewiasta kategoryczna, innymi słowy każde dubel modele spełniające te aksjomaty są izomorficzne.praca